PID 演算法完整教學：從比例積分微分控制到 ESP32 實作

PID 演算法（比例-積分-微分控制器）是工業自動化與嵌入式控制中最廣泛應用的回授控制演算法。從 ESP32 的溫度控制、STM32 的馬達轉速調節，到無人機的姿態穩定，PID 控制器幾乎無所不在。

本文從 PID 控制的基本原理出發，帶你理解 P、I、D 三個參數各司什麼職，並以 ESP32 和 STM32 的實際程式碼教你如何實作與調整 PID 控制器。

什麼是 PID 控制？

PID 控制器是一種回授控制機制：它讀取感測器數值（Process Variable, PV），與目標值（Setpoint, SP）比較得到誤差 e(t)，然後根據誤差計算控制輸出 u(t)，驅動被控系統（Plant）趨近目標。

PID 公式

u(t) = Kp × e(t) + Ki × ∫e(t)dt + Kd × de(t)/dt

離散化後（嵌入式系統使用）：

u[k] = Kp × e[k] + Ki × Σ(e[i] × Δt) + Kd × (e[k] - e[k-1]) / Δt

P、I、D 各自的作用

P — 比例控制（Proportional）

輸出與當前誤差成正比。誤差大 → 輸出大，誤差小 → 輸出小。

• 優點：反應快，誤差一出現立即響應
• 缺點：純 P 控制無法消除穩態誤差（Steady-State Error）
• Kp 太大：系統震盪甚至不穩定
• Kp 太小：響應遲緩，穩態誤差大

I — 積分控制（Integral）

輸出與過去誤差的累積成正比。即使很小的誤差，隨著時間累積也會產生足夠的修正力。

• 優點：消除穩態誤差（零穩態誤差）
• 缺點：積分飽和（Integral Windup）導致超調
• Ki 太大：超調量大，收斂慢
• Ki 太小：穩態誤差消除慢

D — 微分控制（Derivative）

輸出與誤差的變化率成正比。預測誤差的趨勢，提前施加反向力。

• 優點：抑制超調，提高穩定性
• 缺點：對感測器雜訊極度敏感（放大高頻雜訊）
• Kd 太大：系統對雜訊反應過度，反而變得不穩定
• Kd 太小：無明顯效果

PID 參數調整

Ziegler-Nichols 閉環整定法

這是經典的參數整定方法，適合不確定系統模型的場合：

1. 設 Ki=0, Kd=0（只留 P 控制）
2. 逐步增加 Kp 直到系統產生等幅振盪（持續的固定周期震盪）
3. 記錄此時的 Kp = K_u（極限增益），振盪周期 = T_u
4. 根據下表設定 PID 參數：

ESP32 PID 實作：馬達轉速控制

以下是以 ESP32 搭配編碼器（Encoder）實現直流馬達 PID 轉速控制的完整程式碼：

// PID 控制器結構體
typedef struct {
    float Kp, Ki, Kd;
    float integral;
    float prev_error;
    float dt;
    float output_min, output_max;  // 輸出限制（Anti-Windup）
} PIDController;

void PID_Init(PIDController *pid, float Kp, float Ki, float Kd, float dt) {
    pid->Kp = Kp;
    pid->Ki = Ki;
    pid->Kd = Kd;
    pid->integral = 0;
    pid->prev_error = 0;
    pid->dt = dt;
    pid->output_min = 0;
    pid->output_max = 255;  // PWM 8-bit
}

float PID_Compute(PIDController *pid, float setpoint, float measurement) {
    float error = setpoint - measurement;

    // P term
    float P = pid->Kp * error;

    // I term (with anti-windup)
    pid->integral += error * pid->dt;
    float I = pid->Ki * pid->integral;

    // D term (measurement derivative to avoid derivative kick)
    float D = pid->Kd * (measurement - pid->prev_measurement) / pid->dt;
    
    // 計算總輸出
    float output = P + I - D;
    
    // 輸出限制 + Anti-Windup
    if (output > pid->output_max) {
        output = pid->output_max;
        pid->integral -= error * pid->dt;  // 退積分
    } else if (output < pid->output_min) {
        output = pid->output_min;
        pid->integral -= error * pid->dt;
    }

    pid->prev_error = error;
    pid->prev_measurement = measurement;
    
    return output;
}

void setup() {
    PIDController motor_pid;
    PID_Init(&motor_pid, 2.0, 5.0, 0.1, 0.01);  // 100Hz 控制週期
    
    // 每秒讀取編碼器轉速 → PID_Compute → 設定 PWM
}

實作要點

1. Anti-Windup：當輸出飽和時停止積分，避免積分飽和
2. 微分對量測值（非誤差）：避免 Setpoint 突變時的 Derivative Kick
3. 固定取樣時間：使用 Timer 中斷確保 dt 固定，避免參數偏移
4. 低通濾波：微分項前對量測值做一階低通濾波，抑制雜訊放大

常見問題

積分飽和（Integral Windup）

當輸出已經達到極限（PWM 100%），但誤差仍然存在時，積分項會持續累積。當系統回到目標附近時，這個巨大的累積值會導致嚴重的超調。

解法：上述程式碼中的「退積分」（在輸出飽和時不累積積分）是最常見的 Anti-Windup 實作。

微分放大雜訊

D 項對高頻雜訊極度敏感。如果感測器讀數有 ±1% 的噪聲，微分後可能放大到 ±10% 的輸出變化。

解法：

• 對量測值做移動平均或一階低通濾波
• 使用 D-on-Measurement（對量測值微分，而非對誤差）
• 在 Stm32 中，可以利用硬體 ADC 的 oversampling 功能降低噪聲

取樣時間不固定

如果 PID 計算在 loop() 中執行而非 Timer 中斷，dt 會隨程式負載變動。這導致 I 和 D 項的計算偏移——相同的 Ki 在不同負載下表現不同。

解法：使用硬體 Timer 觸發 PID 計算，或記錄 millis() 差值作為實際 dt。

手動調諧口訣

不需要 Ziegler-Nichols 的場合，可以用這個口訣逐步調整：

1. 先調 Kp：增加 Kp 直到系統快速響應但剛開始出現輕微震盪，然後退回 20%
2. 再加 Ki：增加 Ki 消除穩態誤差，直到系統恢復到目標但超調可接受
3. 最後微調 Kd：增加 Kd 抑制超調，但注意不要引入雜訊
4. 重複 1→3，三次迭代後通常能到滿意的結果

注意：每次只調一個參數，觀察響應後再調下一個。

總結

PID 演算法是嵌入式控制的核心技術。理解 P、I、D 各自的角色後，實作並不困難。真正的功力在於參數調整——而這需要對系統的響應特性有直覺。

在 ESP32 和 STM32 上實作 PID 時，記得這三件事：固定取樣時間、做好 Anti-Windup、微分對量測值而非誤差。掌握這三點，你的 PID 控制器就成功了一半。

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